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0．引言
齒輪在工業生產生活中應用極為廣泛，隨著現代工業和科學技術的快速發展進步，齒輪震動，效率壽命等指標越來越受到重視，對齒輪的精度要求越來越高。齒輪測量過程中，測量儀器回轉工作臺的回轉軸線與齒輪的幾何中心很難重合[1~4]，這樣就產生了安裝偏心，導致齒輪的測量基準與齒輪制造基準或者齒輪使用基準的不一致，測量結果中帶有由于工件安裝不準確帶來的安裝誤差，從而不能準確反應齒輪加工精度，所以正確采用誤差補償的方法消除安裝偏心產生的齒形偏差具有重要意義。
齒輪測量中心上的齒輪安裝誤差包括齒輪軸線相對于轉臺軸線的平移誤差和傾斜誤差。其中，一般齒輪軸線的平移誤差稱為偏心，齒輪軸線的傾斜誤差稱為偏擺。為了保證測量結果的精度需要消除由安裝引入的這兩項誤差帶來的誤差成分。研究解決這一難題有助于提升儀器的測量精度，進而提升國內的齒輪測量中心的國際競爭力。針對齒輪安裝誤差中某些特定齒輪測量項的修正問題，不少文章提出了不同的解決辦法或模型，但未見在齒輪測量中心上得到很好的應用。本文依據坐標變換原理提出了齒輪偏心測量模型，很好的解決了齒輪在偏心情況下的齒形測量問題。隨著研究的深入，齒輪測量模型還可擴展到齒距、齒向測量誤差修正過程中，可完全解決齒輪在測量過程中的安裝誤差問題。
1．補償安裝偏心的基本原理
齒輪測量中心在測量齒形過程中可以選擇多種測量方法對齒輪進行測量，而法向極坐標測量法因其測量聯動軸數少及控制方式簡單的優點應用范圍最廣。法向極坐標測量法如圖1-1所示，該方法是根據齒輪齒廓的展成原理，規定漸開線的展長方向為測量方向，將其轉化為展長長度測量。由漸開線的形成原理可以知道，漸開線的法向極坐標方程為：
式中：L為被測點的展開長度 
；為基圓半徑 
；為被測點對應的展開角。
圖1-1 法向極坐標測量齒形
由于齒輪存在加工誤差，在用法向極坐標法測量時，測頭一直保持隨基圓的切向X軸方向做直線運動，如圖1-1所示。但實際測量時測球會隨著齒面誤差相對擺動，實際被測點測量展長與理論展長差值即為齒面偏差。
齒輪測量是一個動態測量過程，即齒輪繞回轉中心O旋轉，測頭沿切向X軸直線運動。由于安裝偏心，齒輪的幾何中心與回轉中心O不重合如圖1-2（a）所示，直接引起被測點基圓半徑的變化如圖1-2（b）所示，由公式(1)可知，實際測量展長隨著基圓半徑的變化而變化，展長與展角不再是線性關系。但在實際測量過程中，測量動作保持不變，既而由測頭讀數直接計算齒面誤差，所得結果包含了安裝偏心引起的測量誤差，使得測量結果不夠準確。如圖1-2（b）所示，在沒有安裝偏心的情況下，被測點為A，安裝偏心后測量點為 
，由于受到安裝偏心的影響，所有測量點都發生改變。
首先利用二維坐標變換原理，將實際坐標點回歸到在靜止狀態下齒輪漸開線的坐標位置,既而得到漸開線上所有被測點坐標。安裝偏心補償為事后補償，即已知齒輪水平偏心和偏擺，平移漸開線上所有被測點坐標消除水平偏心帶來的影響，然后在已知偏擺的情況下，利用三維坐標變換原理，去除水平偏心的所有被測點坐標進行兩次坐標轉換，進一步得到去除偏擺的所有被測點坐標。以起測點為參考點，即齒面誤差為零，利用幾何關系式求解以起測點為準的理論漸開線上對應的被測點坐標，既而分別求出被測點理論展長與實際展長，二者之差即為實際齒面加工誤差。
圖1-2 齒輪安裝偏心數學模型
2. 安裝偏心齒輪測量理論數學模型的建立
在測量過程中，轉臺帶動齒輪旋轉，同時齒輪測量中心控制測桿在X軸方向移動一定距離，獲取工件在測量儀器坐標系下所有被測點的相對轉角值 
以及坐標點位置 
，通過二維坐標變換原理，將齒輪在動態測量過程所有被測點坐標還原到齒輪靜止狀態下的坐標位置 
，方程表達式如下：
式中： 
為轉臺旋轉角度（順時針方向為正）。
由于齒輪存在加工誤差，所得坐標點并非齒輪漸開線理論軌跡坐標點，所以需要通過實際被測點坐標建立直角坐標系下理論漸開線數學方程，如圖2-1所示，令起測點 
為參考點建立理論漸開線，記此點齒面誤差為零，利用圓外一點的切線方程求得切點坐標 
，則起測點 
的展長可由起測點 
和切點 
得到，即：
進一步求得展角為
然后由幾何關系求得漸開線起始點坐標 
，漸開線起點和切點坐標確定后，利用余弦定理求得起測點 
展角為：
則理論展長表達式如下：
實際展長表達式如下：
最終齒面誤差為 
。
圖2-1 理論漸開線數學模型
同理求得齒面所有被測點齒面誤差。
3.安裝偏心誤差修正
3.1水平偏心修正
偏心修正為事后補償，即在已知齒輪測量截面偏心平移向量
前提下利用偏心修正數學模型去掉安裝偏心帶來的測量誤差成分，表達式如下：
3.2偏擺誤差修正
和
，可以求得空間直線矢量的方向余弦
，其中
，利用三維坐標變換原理，將此空間直線做兩次旋轉即可保證與回轉軸線重合，可得當前被測點實際坐標公式：
然后將去掉水平偏心和偏擺后的坐標位置代入上述表達式中，最終求得實際齒面誤差為：
4.測量實驗
測量實驗采用模數為2.7459，齒數為24的標準漸開線圓柱齒輪，齒輪的齒形測量一般只需測量四個近似等分點上的齒輪，以這四個齒輪的齒形誤差代替整個齒輪的齒形誤差。為了做對比實驗，本文選用了一上下頂尖定位的標準斜齒，實驗前先在齒輪上的一齒上做標記，以保證接下來的幾次測量都是測量同樣的齒面。第一次測量時通過上下頂尖安裝齒輪，可認為齒輪無安裝誤差，測得齒形結果如圖4-1所示，第二次測量人工制造安裝偏心誤差，測得齒形結果如圖4-2所示，第三次測量通過偏心修正算法測量齒輪齒形，測得齒形結果如圖4-3所示。對同一齒輪同一齒面三次測量測量結果對比，結果如表1所示。
重復測量5次，測量各項誤差結果保證在±1μm以內，可以實現偏心修正功能，并且測量結果穩定，精度和準確度很高。
5.總結
本文提出了一種新穎的偏心修正補償的測量方法，有效的解決了安裝偏心降低齒輪測量結果精度的難題，保證了齒輪測量結果的準確度和精度。經過實際測試表明，該測量方法正確可行，測量結果穩定、準確。
參考文獻：
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[2]孫慧霖.漸開線圓柱齒輪測量誤差的分析與修正.哈爾濱理工大學,2012.
[3]郭敬濱，張大廈，張繼成.大齒輪齒形測量中補償安裝偏心的理論分析.天津大學學報,2012.05.
[4]楊燕鴿.齒輪安裝偏心情況下在機測量方法的研究.西安工業大學,2012.
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